Algèbre linéaire Exemples

| - 7 - 9 i |

$| - 7 - 9 i |$

Étape 1

Utilisez la formule

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

\sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 9)}^{2}}

$\sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 9)}^{2}}$

Étape 2

Élevez

- 7

$- 7$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{49 + {(- 9)}^{2}}

$\sqrt{49 + {(- 9)}^{2}}$

Étape 3

Élevez

- 9

$- 9$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{49 + 81}

$\sqrt{49 + 81}$

Étape 4

Additionnez

49

$49$ et

81

$81$ .

\sqrt{130}

$\sqrt{130}$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de

a = \sqrt{130}

$a = \sqrt{130}$ et

b = 0

$b = 0$ .

| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{130})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{130})}^{2}}$

Étape 8

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 8.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{130})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{130})}^{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez

{\sqrt{130}}^{2}

${\sqrt{130}}^{2}$ comme

130

$130$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{130}

$\sqrt{130}$ comme

130^{\frac{1}{2}}

$130^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{0 + {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + 130}$

Étape 8.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{0 + 130}$

Étape 8.3

Additionnez

$0$ et

$130$ .

$| z | = \sqrt{130}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\sqrt{130}})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de

$\frac{0}{\sqrt{130}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est

$0$ .

$θ = 0$

Étape 11

Remplacez les valeurs de

$θ = 0$ et

$| z | = \sqrt{130}$ .

$\sqrt{130} (\cos (0) + i \sin (0))$